Què és la consonància?

A la nota anterior, vam descobrir com funciona el so. Repetim aquesta fórmula:

SO = TO DEL SÒL + TOTES LES MÚLTIPLES AMBITOS

A més, mentre els japonesos admiren les flors de cirerer, també admirarem el gràfic de resposta en freqüència, la característica amplitud-freqüència del so (Fig. 1):

Recordeu que l'eix horitzontal representa el to (freqüència d'oscil·lació), i l'eix vertical representa la sonoritat (amplitud).

Cada línia vertical és un harmònic, el primer harmònic se sol anomenar fonamental. Els harmònics s'organitzen de la següent manera: el segon harmònic és 2 vegades més alt que el to fonamental, el tercer és tres, el quart és quatre, i així successivament.

Per a la brevetat, en comptes de "freqüència nharmònic" simplement direm "nth harmònic", i en lloc de "freqüència fonamental" - "freqüència del so".

Així doncs, mirant la resposta en freqüència, no ens serà difícil respondre a la pregunta, què és la consonància.

Com comptar fins a l'infinit?

Consonància significa literalment "co-sounding", so conjunt. Com poden sonar dos sons diferents junts?

Dibuixem-los al mateix gràfic els uns sota els altres (Fig. 2):

Aquesta és la resposta: alguns dels harmònics poden coincidir en freqüència. És lògic suposar que com més freqüències coincideixen, més sons "comuns" tenen i, en conseqüència, més consonància en el so d'aquest interval. Per ser completament precisos, és important no només el nombre d'harmònics coincidents, sinó quina proporció de tots els harmònics que sonen coincideix, és a dir, la relació entre el nombre d'harmonics que sonen i el nombre total d'harmònics que sonen.

Obtenim la fórmula més senzilla per calcular la consonància:

where N_sovp és el nombre d'harmònics coincidents,  N_comú és el nombre total d'harmònics que sonen (el nombre de freqüències de so diferents) i contres i és la nostra consonància desitjada. Per ser matemàticament correctes, és millor anomenar la quantitat una mesura de la consonància de freqüència.

Bé, la qüestió és petita: cal calcular N_sovp и N_comú, dividiu l'un per l'altre i obteniu el resultat desitjat.

L'únic problema és que tant el nombre total d'harmònics com fins i tot el nombre d'harmònics coincidents és infinit.

Què passa si dividim l'infinit per l'infinit?

Canviem l'escala del gràfic anterior, "allunyarem" d'ella (Fig. 3)

Veiem que els harmònics coincidents es produeixen una i altra vegada. La imatge es repeteix (Fig. 4).

Aquesta repetició ens ajudarà.

Ens n'hi ha prou de calcular la proporció (1) en un dels rectangles de punts (per exemple, en el primer), després, a causa de les repeticions i en tota la línia, aquesta proporció es mantindrà igual.

Per simplificar, la freqüència del to fonamental del primer so (inferior) es considerarà igual a la unitat, i la freqüència del to fonamental del segon so s'escriurà com una fracció irreductible.  .

Observem entre parèntesis que en els sistemes musicals, per regla general, són precisament els sons els que s'utilitzen, la proporció de freqüències dels quals s'expressa en alguna fracció.  . Per exemple, l'interval d'una cinquena és la proporció  , quarts -  , tritó -   etcètera...

Calculem la relació (1) dins del primer rectangle (Fig. 4).

És bastant fàcil comptar el nombre d'harmònics coincidents. Formalment, n'hi ha dos, un pertany al so inferior, el segon, al superior, a la figura 4 estan marcats en vermell. Però aquests dos harmònics sonen a la mateixa freqüència, respectivament, si comptem el nombre de freqüències coincidents, només hi haurà una d'aquestes freqüències.

Quin és el nombre total de freqüències de so?

Argumentem així.

Tots els harmònics del so inferior estan disposats en nombres enters (1, 2, 3, etc.). Tan aviat com qualsevol harmònic del so superior sigui un nombre enter, coincidirà amb un dels harmònics de la part inferior. Tots els harmònics del so superior són múltiples del to fonamental , per tant la freqüència n-è harmònic serà igual a:

és a dir, serà un nombre enter (ja que m és un nombre enter). Això vol dir que el so superior del rectangle té harmònics des del primer (to fonamental) fins a n-Oh, doncs, so n freqüències.

Com que tots els harmònics del so inferior es troben en nombres enters, i segons (3), la primera coincidència es produeix a la freqüència m, resulta que el so més baix dins del rectangle donarà m freqüències de so.

Cal tenir en compte que la freqüència coincident m tornem a comptar dues vegades: quan hem comptat les freqüències del so superior i quan hem comptat les freqüències del so inferior. Però, de fet, la freqüència és una, i per a la resposta correcta, haurem de restar una freqüència "extra".

El total de totes les freqüències de sonades dins del rectangle serà:

Substituint (2) i (4) a la fórmula (1), obtenim una expressió senzilla per calcular la consonància:

Per emfatitzar la consonància de quins sons hem calculat, podeu indicar aquests sons entre parèntesis contres:

Amb una fórmula tan senzilla, podeu calcular la consonància de qualsevol interval.

I ara considerem algunes propietats de la consonància de freqüència i exemples del seu càlcul.

Propietats i exemples

Primer, calculem les consonàncies dels intervals més simples i assegurem-nos que la fórmula (6) "funciona".

Quin interval és el més senzill?

Definitivament prima. Dues notes sonen a l'uníson. En un gràfic es veurà així:

Veiem que absolutament totes les freqüències de so coincideixen. Per tant, la consonància ha de ser igual a:

Ara substituïm la proporció per l'uníson  a la fórmula (6), obtenim:

El càlcul coincideix amb la resposta "intuïtiva", que és d'esperar.

Prenguem un altre exemple en què la resposta intuïtiva és igual d'òbvia: l'octava.

En una octava, el so superior és 2 vegades més alt que el inferior (segons la freqüència del to fonamental), respectivament, a la gràfica es veurà així:

A la gràfica es pot veure que cada segon harmònic coincideix, i la resposta intuïtiva és: la consonància és del 50%.

Calculem-ho amb la fórmula (6):

I de nou, el valor calculat és igual al "intuïtiu".

Si prenem la nota com a so inferior a i traceu el valor de la consonància per a tots els intervals dins de l'octava al gràfic (intervals senzills), obtenim la següent imatge:

Les mesures més altes de consonància es troben a l'octava, quinta i quarta. Històricament es referien a consonàncies "perfectes". Els terços menors i majors, i el sisè menor i major són lleugerament més baixos, aquests intervals es consideren consonàncies "imperfectes". La resta d'intervals tenen un menor grau de consonància, tradicionalment pertanyen al grup de les dissonàncies.

Ara enumerem algunes propietats de la mesura de la consonància de freqüència, que provenen de la fórmula per al seu càlcul:

1. Com més complexa sigui la proporció  (com més nombre m и n), menys consonant és l'interval.

И m и n a la fórmula (6) estan al denominador, per tant, a mesura que augmenten aquests nombres, la mesura de la consonància disminueix.

2. La consonància ascendent de l'interval és igual a la consonància descendent de l'interval.

Per obtenir un interval de baixada en lloc d'un interval de pujada, necessitem la relació   intercanviar m и n. Però a la fórmula (6), no canviarà absolutament res d'aquesta substitució.

3. La mesura de la consonància de freqüència d'un interval no depèn de quina nota l'estem construint.

Si desplaceu les dues notes en el mateix interval cap amunt o cap avall (per exemple, construïu una quinta no a partir d'una nota a, però de la nota tornar), després la proporció  entre notes no canviarà i, en conseqüència, la mesura de la consonància de freqüència romandrà igual.

Podríem donar altres propietats de consonància, però de moment ens limitarem a aquestes.

Física i lletra

La figura 7 ens dóna una idea de com funciona la consonància. Però és així com realment percebem la consonància dels intervals? Hi ha gent a qui no li agraden les consonàncies perfectes, però les harmonies més dissonants semblen agradables?

Sí, aquesta gent, sens dubte, existeix. I per explicar-ho, cal distingir dos conceptes: consonància física и consonància percebuda.

Tot el que hem considerat en aquest article té a veure amb la consonància física. Per calcular-lo, cal saber com funciona el so i com es sumen les diferents vibracions. La consonància física proporciona els requisits previs per a la consonància percebuda, però no la determina al 100%.

La consonància percebuda es determina de manera molt senzilla. Es pregunta a una persona si li agrada aquesta consonància. Si sí, llavors per a ell és consonància; si no, és dissonància. Si se li donen dos intervals de comparació, podem dir que un d'ells semblarà a la persona en aquest moment més consonant, l'altre menys.

Es pot calcular la consonància percebuda? Fins i tot si suposem que és possible, llavors aquest càlcul serà catastròficament complicat, inclourà una infinitat més: la infinitat d'una persona: la seva experiència, les característiques auditives i les capacitats cerebrals. Aquesta infinitat no és tan fàcil de tractar.

No obstant això, la investigació en aquest àmbit està en curs. En particular, el compositor Ivan Soshinsky, que amablement proporciona materials d'àudio per a aquestes notes, ha desenvolupat un programa amb el qual es pot construir un mapa individual de la percepció de les consonàncies per a cada persona. Actualment s'està desenvolupant el lloc mu-theory.info, on qualsevol pot ser provat i conèixer les característiques de la seva audició.

I tanmateix, si hi ha una consonància percebuda, i difereix de la física, de què serveix calcular aquesta última? Podem reformular aquesta pregunta d'una manera més constructiva: com es relacionen aquests dos conceptes?

Els estudis mostren que la correlació entre la consonància mitjana percebuda i la consonància física és de l'ordre del 80%. Això vol dir que cada persona pot tenir les seves pròpies característiques individuals, però la física del so fa una contribució aclaparadora a la definició de la consonància.

Per descomptat, la investigació científica en aquesta àrea encara està al començament. I com a estructura sonora, vam prendre un model relativament simple de múltiples harmònics, i el càlcul de la consonància es va utilitzar de la manera més senzilla: la freqüència, i no va tenir en compte les peculiaritats de l'activitat del cervell en el processament del senyal sonor. Però el fet que fins i tot en el marc d'aquestes simplificacions s'hagi obtingut un alt grau de correlació entre teoria i experiment és molt encoratjador i estimula més investigacions.

L'aplicació del mètode científic en el camp de l'harmonia musical no es limita al càlcul de la consonància, també dóna resultats més interessants.

Per exemple, amb l'ajuda del mètode científic, l'harmonia musical es pot representar gràficament, visualitzar-la. Parlarem de com fer-ho la propera vegada.

Autor: Roman Oleinikov